Russell's Paradox

Russell's Paradox是set theory中非常有名的悖论。

先来看一下set theory中一个有意思的集合：属于自己本身的集合，也就是说一个集合它包含了自己。例如，以所有集合为作用域来考虑，包含所有正方形的集合R，那么集合R并不包含自己，因为R是一个集合，而不是正方形。但是，取R的补集S，即所有非正方形的集合，那么S不是正方形，所以S是自己的一个元素，即S属于自己。可见，世界上存在很多这种包含自己本身的集合。

现在，令R为所有不属于自己的集合的集合（好绕阿！集合R中的元素也是集合），也就是说：

R ＝ {A | A不属于A}

那么，现在考虑R是否属于R。如果R属于R，那么这违背了R不属于自己的集合属性；如果R不属于R，那么根据集合R的属性，R应该是集合中的一个元素。这就是Russell's Paradox。

有一个与Russell's Paradox相关的理发师的故事。理发师在理发店前的牌子上写道：“我给镇上所有不给自己理发的人理发，而且我也只给这些人理发。”于是，有人问他：“那你自己怎么办呢？如果你不给自己理发，那么照你的说法就应该给自己理发；如果你给自己理发，那么你又不应该给自己理发，因为你只给不给自己理发的人理发。”理发师不知如何回答。